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Exercício 10 da Seção 4.5.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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perguntada Abr 8 em Economia por João Isidio (1 ponto)  
editado Abr 8 por João Isidio

Seja \(V\) o conjunto das matrizes \(A \in M_n(R)\) tal que

\[a_{n+1-i, n+1-j} = a_{ij}\]

para \(i,j \in {1,..,n}\)*.

a) Prove que \(V\) é um subespaço de \(M_n(R)\).

b) Encontre a dimensão de \(V\) como um espaço vetorial de escalares* nos \(R\).

*Termos adicionais que diferem do original.

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1 Resposta

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respondida Abr 8 por João Isidio (1 ponto)  

ITEM A:

O conjunto \(V\) pode ser assim representado:

\[V = \{A \in M_n(R)/ a_{n+1-i, n+1-j} = a_{ij}\}\]

Para verificar se a soma dos elementos de \(V\) esta definida em \(V\), deve-se primeiramente tomar dois de seus elementos \(X,Y \in V\) e calcular sua soma \(Z\).

Os elementos de \(Z\) podem ser assim descritos para \(i,j \in 1,...,n\):

\[z_{ij} = x_{ij}+y_{ij}\]

De forma equivalente, o elemento \(z_{n+1-i, n+1-j}\) poderia ser assim calculado:

\[z_{n+1-i, n+1-j} = x_{n+1-i, n+1-j} + y_{n+1-i, n+1-j} \]

Acontece que os elementos \(x_{n+1-i, n+1-j}\) e \(y_{n+1-i, n+1-j}\) pertencem a matrizes do conjunto \(V\), e portanto:

\[x_{n+1-i, n+1-j}=x_{ij}\]\[y_{n+1-i, n+1-j}=y_{ij}\]

O que permite constatar que:

\[z_{n+1-i, n+1-j} = x_{n+1-i, n+1-j} + y_{n+1-i, n+1-j} = x_{ij}+y_{ij} = z_{ij}\]

Ou seja, que \(z_{n+1-i, n+1-j} = z_{ij}\) para todo \(i,j \in 1,...,n\), e que \(Z \in V\).

Agora, para verificar a multiplicação por escalares reais, deve-se tomar dois elementos: \(X \in V\) e \(\lambda \in R\), e calcular o produto \(W\) dos dois.

Os elementos de \(W\) podem ser assim descritos para \(i,j \in 1,...,n\):

\[w_{ij} = \lambda x_{ij}\]

De forma equivalente, o elemento \(w_{n+1-i, n+1-j}\) poderia ser assim calculado:

\[w_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{n+1-i, n+1-j} \]

Acontece que o elemento \(x_{n+1-i, n+1-j} \in V\), e portanto:

\[x_{n+1-i, n+1-j}=x_{ij}\]

O que permite constatar que:

\[w_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{ij} = w_{ij}\]

Ou seja, que \(w_{n+1-i, n+1-j} = w_{ij}\) para todo \(i,j \in 1,...,n\), e que portanto \(W \in V\).

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