Primeiro, vamos calcular o intervalo de confiança para a média \(μ\).
A variância populacional \(σ\) é desconhecida. Assim, temos que usar a distribuição t de student com \(n - 1\) graus de liberdade.
Dados:
Tamanho da amostra = graus de liberdade da amostra : \(n\) = 15
Média amostral: \(\overline{x}\) = \(10\)
Variância amostral: \(s^2 = 25\)
Intervalo de confiança = \(90\)%, então, \((1 - α) = 0,90\) e \(n - 1\) = \(14\).
Consultando a tabela t de student , \(t_{((n-1) α/2)}\) = \(t_{((14)0,95)}\) = \(1,76\)
O intervalo de confiança será dado por:
\(\overline{x}\) - \(t_{((n-1) α/2)}\) \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) \(≤ μ ≤\) \(\overline{x}\) + \(t_{((n-1) α/2)}\) \(\frac{s}{\sqrt{n}}\)
Substituindo os valores:
\(\overline{x}\) - \(1,76\) \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) \(≤ μ ≤\) \(\overline{x}\) + \(1,76\) \(\frac{s}{\sqrt{n}}\)
\(10 - 1,76\) \(\frac{5}{\sqrt{15}}\) \(≤ μ ≤\) \(10 + 1,76\) \(\frac{5}{\sqrt{15}}\)
\(7,73\) \(≤ μ ≤\) \(12,27\)
\(IC_{0,90}\) = (\(7,73\) ; \(12,27\))
A interpretação deste intervalo de confiança é que, com \(90\)% de chance, o parâmetro verdadeiro, que é a média populacional, vai pertencer ao intervalo entre \(7,73\) e \(12,27\).
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança para a variância \(σ^2\).
A variável tem uma distribuição qui-quadrado com \(n-1\) graus de liberdade.
O intervalo de confiança será dado por:
\(IC\) (\(σ^2, 1 - α)\) = \(( \frac{(n-1)s^2}{Q_{1-α/2}}\) , \(\frac{(n-1)s^2}{Q_{α/2}} )\)
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado com 14 graus de liberdade, temos:
\(Q_{1-α/2}\) = \(Q_{0,95}\) = \(31,319\) e \(Q_{α/2}\) = \(Q_{0,05}\) = \(6,571\)
Substituindo os valores:
\(IC\) (\(σ^2, 1 - α)\) = \(( \frac{(15-1)25}{31,319}\) , \(\frac{(15-1)25}{6,571} )\)
\(IC\) (\(σ^2, 1 - α)\) = \((11,17 ; 53,26)\)
A interpretação deste intervalo de confiança é que, com \(90\)% de chance, o parâmetro verdadeiro, que é a variância populacional, vai pertencer ao intervalo entre \(11,17\) e \(53,26\).
RESPOSTAS PARA O COMENTÁRIO:
Olá Gustavo. Tudo bem e você?
Agradeço pelos comentários. Conforme bem apontado, minha resolução precisa de algumas alterações.
Em relação ao IC da variância, o valor realmente está incorreto. O valor apontado por mim refere-se a um valor crítico de 0,5% e não 5%. Um erro de atenção que alterou o resultado final do exercício. O valor correto é 23,685 , conforme apontado.
Na tabela de distribuição qui-quadrado, temos:
\(Q_{0,995}\) = \(31,319\) e \(Q_{0,95}\) = \(23,685\) . O valor que deve ser utilizado na resolução é \(Q_{0,95}\).
Refazendo os cálculos:
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado com 14 graus de liberdade, temos:
\(Q_{1-α/2}\) = \(Q_{0,95}\) = \(23,685\) e \(Q_{α/2}\) = \(Q_{0,05}\) = \(6,571\)
Substituindo os valores:
\(IC\) (\(σ^2, 1 - α)\) = \(( \frac{(15-1)25}{23,685}\) , \(\frac{(15-1)25}{6,571} )\)
\(IC\) (\(σ^2, 1 - α)\) = \((14,77 ; 53,26)\)
Portanto, o IC correto é o intervalo entre \(14,77\) e \(53,26\).
Em relação à interpretação do conceito de intervalo de confiança, realmente há uma diferença entre a interpretação frequentista e a bayesiana.
A ideia do uso de intervalo de confiança (IC) é indicar a confiabilidade de uma estimativa. A amplitude do IC está associada à incerteza em relação ao parâmetro. Um intervalo de confiança menor é entendido como mais confiável quando comparado a um intervalo maior.
A abordagem bayesiana entende que há um parâmetro verdadeiro e fixo. É atribuída uma distribuição de probabilidade sobre o valor verdadeiro do parâmetro. Essa distribuição de probabilidade é uma probabilidade a posteriori.
Já na abordagem frequentista o parâmetro é fixo e o intervalo de confiança é aleatório. Por exemplo, em um intervalo de confiança de 90%, trabalhando com um grande número de amostras repetidas, a ideia é que 90% dos intervalos de confiança encontrados incluirão o verdadeiro valor do parâmetro.
A diferença entre as abordagens bayesiana e frequentista é um tema recorrente na literatura acadêmica de Estatística.