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Questão 2, Capítulo 4 - "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice (3a Edição)

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perguntada Abr 5 em Matemática por Thiago Lappicy (6 pontos)  
editado Abr 5 por Thiago Lappicy

Se X é uma Variável Aleatória discreta e uniforme, ou seja,
\[P(X = k) = \frac{1}{n} \:\: ; \:\:\: k = 1,\ 2,\ ...,\ n\]Ache E(X) e Var(X)

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1 Resposta

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respondida Abr 5 por Thiago Lappicy (6 pontos)  

Podemos escrever o valor esperado de X, E[X] como sendo

\[ E[X] = \sum\limits_{i=1}^n x_i *p(x_i)\] com,\[p(x_i) = \frac{1}{n}\; \; \; \; \forall \; x_i \in k\]

Logo,

\[ E[X] = \frac{1\:+\:2\:+\:...\:+\:n}{n}\]

Como a soma finita dos termos de uma Progressão Aritmética pode ser obtida por,

\[ Soma = \frac{(a_1 + a_n)*n}{2}\]

Substituindo a1 por 1 e an por n, temos que

\[ Soma = \frac{n*(n+1)}{2}\]

Substituindo na expressão do valor esperado,

\[ E[X] = \frac{n*(n+1)}{2*n} = \frac{n+1}{2}\]

Podemos calcular também o valor esperado do quadrado de X, ou seja,

\[ E[X^2] = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 *p(x_i)\]
\[ E[X^2] = \frac{1^2 + 2^2 + ... + n^2}{n}\]

Essa soma do denominador é um pouco mais complexa, mas ainda assim pode ser facilmente demonstrável que. Porém, para a resposta não ficar desmasiadamente extensa, colocaremos apenas o resultado final. Para mais informações em como resolver e qual o resultado dessa expressão, recomendo acessar o https://www.wolframalpha.com/ ou encontrar a dedução online - um exemplo bem detalhado está no site http://www.paulomarques.com.br/arq10-83.htm.

\[ 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}\]

Assim, temos então que:

\[ E[X^2] = \frac{(n+1)*(2*n+1)}{6}\]

Como pela própria definição de Variância,

\[ Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]

Substituindo os valores encontrados acima, podemos concluir que

\[ Var[X] = \frac{(n+1)*(2*n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{(2)^2} \]
\[ Var[X] = \frac{4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3}{12}\] Que pode ser simplificado por,
\[ Var[X] = \frac{n^2 - 1}{12}\]

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