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Olá, como faço para provar que um conjunto não é convexo, por exemplo : S={d pertence ao R^2 tal que d>=0, d'd''=0}

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perguntada Out 9 em Matemática por amissadai (6 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Out 9 por Stuart Mill (1,474 pontos)  
selecionada Out 22 por amissadai
 
Melhor resposta

Parta da definição de um conjunto convexo. Um conjunto \(S\) é convexo se \(\forall a,b \in S, t \in [0,1], at+b(1-t) \in S \). Logo, para mostrar que um conjunto não é convexo, basta mostrar que existem \(a^*, b^* \in S, t^* \in [0,1]\) tais que \(ta^*+(1-t)b^* \not \in S\). Nesse caso, os únicos elementos no seu conjunto S são múltiplos de (0,1) e (1,0), não? Então creio que seria convexo? Ou não entendi muito o que você quis dizer com d' e d".

comentou Out 9 por amissadai (6 pontos)  
Olá, d' e d'' são coordenadas de d=(d', d'') eu coloquei  aspas, porque não sei colocar índices.
comentou Out 9 por amissadai (6 pontos)  
Nesse exemplo, eu poderia mostrar por absurdo que S é um cone convexo ? daí eu pegaria dois vetores u e v, aplicaria em (1-t)x+ty e daí chegaria em uma expressão que seria diferente de 0. Logo eu teria um absurdo.
comentou Out 10 por Stuart Mill (1,474 pontos)  
Sim, porque aí você achou uma combinação convexa que não está no conjunto. Basta pegar (1,0) e (0,1), pegar t=1/2 e perceber que (1/2,1/2) não está no conjunto.
By the way, essa é a demonstração por contrapositiva. Para ser por contradição, você teria que encontrar alguma expressão que implique em alguma impossibilidade matemática (do tipo -> Falso).
comentou Out 10 por amissadai (6 pontos)  
editado Out 10 por amissadai
Há sim, valeu. Você saberia dizer como ficaria geometricamente ? isso é um cone, mas por se tratar de convexidade não consigo visualizar geometricamente.
comentou Out 10 por Stuart Mill (1,474 pontos)  
O conjunto seriam todos os pontos no eixo x do plano cartesiano e todos os pontos no eixo y do plano cartesiano. Fica claro que pegar um ponto entre os dois planos sai pra fora do conjunto, e logo ele não é convexo.
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