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O conjunto de todas as raízes de polinômios inteiros é enumerável?

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perguntada Jan 26 em Matemática por Stuart Mill (1,339 pontos)  
reclassificado Fev 1 por Stuart Mill
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1 Resposta

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respondida Fev 1 por Stuart Mill (1,339 pontos)  
  • Seja \( P_n \) o conjunto de todos os polinômios de coeficientes inteiros de grau n. Isto é, o conjunto de todas as funções da forma \( f(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^{i-1}\), \(a_i \in \mathbb{N}\). Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, cada polinômio \( p \in P_n \) tem no máximo \( n\) raízes reais. Considere a bijeção \( \phi : P_n \rightarrow \mathbb{Z} \) em que \( \phi(p) = (a_1, a_2, ..., a_n) \). Ou seja, a bijeção associa o polinômio de grau n ao vetor de grau n com os seus coeficientes inteiros positivos. Os inteiros são contáveis, isto é, existe uma bijeção entre \( \mathbb{N} \) e \( \mathbb{Z} \). Portanto, o número de polinômios de grau n contável. Como o número de raízes de cada polinômio é finito, o número de raízes dos polinômios de grau n é uma união contável de conjuntos finitos, logo, é contável. Agora, o conjunto de todos os polinômios, \(P \), é dado por \( P = \bigcup_{i=1}^{\infty} P_i \), uma união contável de contáveis. Logo, \( P \) é contável. Analogamente, o conjunto de todas as raízes reais de \( P\) é uma união contável de contáveis (o número de raízes de cada \( P_n \) ).

  • Isso mostra que o conjunto dos número algébricos \( \mathbb{A}\) (que são raízes para a algum polinômio de coeficientes inteiros) é contável.

  • Uma vez que \( \mathbb{R} \) é incontável, \( \mathbb{R} - \mathbb{A}\) é incontável também, uma vez que \( \mathbb{A} \) é contável. Logo, o conjunto dos números transcendentes (que não são raiz de nenhum polinômio com coeficientes inteiros) é incontável! Curiosamente, embora existam muito mais números transcendentes do que algébricos, é muito difícil provar que um número é transcendente, e atualmente conhecemos relativamente poucos deles. Por exemplo, \( \pi \) e \( e \) são transcendentes.
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