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Otimização de carteira, não arbitragem, precificação em mercado incompleto e inovação financeira.

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perguntada Nov 5 em Economia por Luiz Filippe (6 pontos)  

Considere uma economia com dois períodos, com dois consumidores que não consumem no primeiro período com funções de utilidade \(U^i\) e dotações iniciais \(w^i\), dois ativos e 3 estados no segundo período:

\(U^i(c_1,c_2,c_3) = log c_1 + log c_2\) ; \(w_1=(0,1,2)'\)
\(U^i(c_1,c_2,c_3) = log c_2 + log c_3\) ; \(w_2=(2,1,0)'\)

\(S=3,\quad J=2,\quad \
{\bf X}= \left[\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}\right] \)

a) Encontre os planos de consumo e o equilíbrio de preços.
Considere um terceiro ativo (0, 0, 1)'

b) E possível replicar esse ativo usando os dois outros ativos?

c) Na ausência de arbitragem, qual o intervalo de preços possíveis para
esse ativo?

d) Determine agora o equilíbrio da economia considerando um mercado
com os três ativos. Qual o efeito dessa inovação financeira?

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1 Resposta

0 votos
respondida Nov 19 por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Dez 3 por Luiz Filippe

LETRA A

O problema de maximização para o indivíduo i é:

\(max \quad u^i(c^i)\)
\(\qquad s.a \quad c_0^i \leq w_0^i- \left \langle p,h \right \rangle\)
\(\qquad \qquad c_s^i \leq w_s^i+ Xh\)

Consumidor 1

O problema informa que não há consumo no 1º período. Além do mais, o consumidor não valoriza o consumo no estado 3. Então, tem-se:

\(max \quad logc_1 + logc_2\)
\(\qquad s.a \quad p_1h_1 + p_2h_2 \leq 0\)
\(\qquad \qquad c_1 \leq 0 + h_1^1\)
\(\qquad \qquad c_2 \leq 1 + h_2^1\)

Manipulando as restrições acima chegamos a \(h_2^1=c_2-1\). Assim:

\(\mathcal{L} = log(c_1) + log(c_2) + \lambda[p_1c_1 + p_2(c_2-1)]\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1} = 0\)
\(\qquad \frac{1}{c_1} = \lambda p_1\)
\(\qquad \frac{1}{c_1p_1}=\lambda\)

\(\frac{\mathcal{L}}{\partial c_2}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_2} = \lambda p_2\)

Resolvendo:

\(\frac{1}{c_2} = \frac{1}{c_1p_1}p_2 \quad \Longrightarrow \frac{c_1}{c_2}=\frac{p_2}{p_1}\)

\(\qquad\) Normalizando \(p_1=1\), temos que \(p_2=\frac{c_1}{c_2}\). Ao substituirmos na primeira restrição:

\(h_1+\frac{c_1}{c_2}h_2=0\) ; (vale com igualdade, pois \(u\) é estritamente crescente em \(c_1\))

\(\qquad\) Pela restrição 2, \(h_1^1=c_1\):

\(c_1 + \frac{c_1}{c_2}h_2=0 \Rightarrow \quad h_2=-c_1\frac{c_2}{c_1} \Rightarrow \quad c_2=-h_2\)

\(\qquad\) Da restrição 3, vemos que

\(c_2=1+h_2^1 \Rightarrow \quad c_2=1-c_2 \Rightarrow \quad c_2^1=\frac{1}{2}\)
\(h_2^1=-\frac{1}{2}\)
\(c_1^1=h_1\)

Consumidor 2

Assim como o consumidor 1, o consumidor 2 também não consome na data 0. Além do mais, não há valorização do consumo no estado da natureza 1. Assim:

\(\max \quad logc_2 + logc_3\)
\(\qquad s.a. p_1h_1 + p_2h_2 \leq 0\)
\(\qquad \quad c_1 \leq 2 + h_1\)
\(\qquad \quad c_2 \leq 1+h_2\)
\(\qquad \quad c_3 \leq 0 + h_2\)

\(\mathcal{L} = logc_2 + logc_3 + \mu[p_1h_1+p_2h_2] + \lambda_1[2+h_1-c_1] +\)
\(\qquad\) \(\lambda_2[1+h_2-c_2] + \lambda_3[h_2-c_3]\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1}=0\)
\(\qquad \lambda_1=0\) ; (Restrição inativa)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_2}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_2}=\lambda_2\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_3}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_3}=\lambda_3\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_1}=0\)
\(\qquad \mu p_1 = 0\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_2}=0\)
\(\qquad \mu p_2+\lambda_1+\lambda_2=0 \Rightarrow \mu=-\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{p_2}\) ; (\(\mu \ne 0\) porque nem \(p_2\) nem \(\lambda_i\) são 0).

Como consumir \(c_1\) não traz utilidade ao consumidor, ele investirá o menor valor possível em \(h_1\). Assim:

\(\qquad\) \(c_1 \leq 2+h_1 \Rightarrow \quad 0 = 2 + h_1 \Rightarrow \quad h_1^2=-2\)

Por market-clearing:

\(h_1^1=2 \Rightarrow \quad c_1^1=2\)
\(h_2^2=\frac{1}{2}\)
\(c_2^2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow c_2^2=\frac{3}{2}\)
\(c_2^3=\frac{1}{2}\)

\(\frac{p_1}{p_2}=\frac{c_2^1}{c_1^1}=\frac{1}{4}\)

LETRA B

\[a\left[\begin{array}{cc} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right]+ b\left[\begin{array}{cc} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \Rightarrow \begin{array}{c} a + 0 = 0\\ 0 + b = 0\\ 0 + b = 1 \end{array}\]

Como observado, \(b=0\) e \(b=1\), um absurdo. Logo, não é possível replicar o ativo \((0,0,1)'\).

LETRA C

\(q_l(z) = max\left \{ ph: Xh \le z \right \}\)
\(q_u(z) = min\left \{ph: Xh \ge z\right \}\)

Como \(\frac{p_1}{p_2}=\frac{1}{4}\), normalizaremos \(p_1=R\) e \(p_2=R\). Além do mais, na ausência de arbitragem, \(q_u(z) \ge q_l(z)\). Façamos:

\(max \quad h_1 + 4h_2\)
\(\qquad s.a. \quad h_1 \le 0\)
\(\qquad s.a. \quad h_2 \le 0\)
\(\qquad s.a \quad h_2 \le 1\)

\(\Longrightarrow\) Assim, \((h^*_1,h^*_2)=(0,0)\)

\(min \quad h_1 + 4h_2\)
\(\qquad s.a. \quad h_1 \ge 0\)
\(\qquad s.a. \quad h_2 \ge 0\)
\(\qquad s.a. \quad h_2 \ge 1\)

\(\Longrightarrow\) \((h^*_1,h^*_2)=(0,1)\)

Teremos, então:

\(q_l(z)= 1*0+4*0=0\) e \(q_u(z)=1*0+4*1=4\). Assim:

\(q_l(z) \le \pi \le q_u(z)\) \(\Rightarrow\) \(0 \le \pi \le 4\)

LETRA D

Consumidor 1

\(max \quad logc_1 + logc_2\)
\(\qquad s.a. \quad \sum_{s}p_sc_s \le \sum_{s}p_sw_s\)

\(\mathcal{L}=logc_1+logc_2- \lambda\left [ p_1c^1_1 + p_2c^1_2+p_3c^1_3-p_1w^1_1-p_2w^1_2-p_3w^1_3\right ]\)

CPO:

\(c_1: \frac{1}{c_1}=\lambda p_1\)
\(c_2: \frac{1}{c_2}=\lambda p_2 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{c_2p_2}\)
\(c_3: \lambda p_3=0\)

Resolvendo:

\(\frac{1}{c_1}=\frac{1}{c_2p_2}p_1\)
\(\frac{c_2}{c_1}=\frac{p_1}{p_2}\)

Consumidor 2

\(max \quad logc_2 + logc_3\)
\(\qquad s.a. \quad \sum_{s}w^2_s \le \sum_{s}c^2_s\) \(\Rightarrow\) consigo multiplicar por \(p_s\) dos dois lados para obter: \(\sum_{s}p_sw^2_s \le \sum_{s}p_sc^2_s\)

\(\mathcal{L}=logc_2 + logc_3 + \lambda\left [p_1c^2_1+p_2c^2_2+p_3c^2_3-p_1w^2_1-p_2w^2_2-p_3w^2_3 \right]\)

CPO:

\(c_1: \lambda_1p_1=0\)
\(c_2: \frac{1}{c_2}= \lambda p_2\)
\(c_3: \frac{1}{c_3}=\lambda p_3\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{c_3p_3}=\lambda\)

\(h_1: \mu p_1 + \lambda_1 = 0\)
\(h_2: \mu p_2 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0\)
\(h_3: \mu p_3 + \lambda_3 = 0\)

\(\frac{1}{c^2_2}=\frac{1}{c^2_3p_3}p_2\)
\(\frac{c^2_3}{c^2_3}=\frac{p_2}{p_3}\)

Como o investidor não eleva sua utilidade ao consumir no estado 1, ele investe o mínimo possível em \(h_1\):

\(c_1=2+h_1\) \(\Rightarrow\) \(h^2_1=-2\). Por market-clearing, \(h^1_1=2 e c^2_1=0\)

Por market-clearing:

\(c^1_1 +c^2_1 = w^1_1 + w^2_1 \)
\(c^1_1 + 0 = 0 + 2\) \(\Rightarrow\) \(c^1_1 = 2\)

\(c^1_3 = 0\) :
\(c^1_3 + c^2_3 = w^1_3 + w^2_3\)
\(0 + c^2_3 = 2 + 0\) \(\Rightarrow\) \(c^2_3 = 2\)

\(c^1_2 + c^2_2 = w^1_2 + w^2_2\)
\(c^1_1\frac{c^1_2}{c^1_1} + c^2_3\frac{c^2_2}{c^3_3}=2\) \(\Rightarrow\) \(c^1_1\frac{p_1}{p_2}+c^2_3\frac{p_3}{p_2}=2\) \(\Rightarrow\) \(\frac{2\left ( p_1 + p_3 \right )}{p_2}=2\) \(\Rightarrow\) \(p_1 + p_3 = p_2\)

Tomando novamente as restrições do problema de maximização, temos que \(p_1 h_1+p_2 h_2 + p_3 h_3 = 0\), \(c^1_1 \le 0 + h^1_1\), \(c^2_1 \le 1 + h^1_2\) e \(c^1_3 \le 2 + h_2 + h_3\) ; \(h_2 = 0\):

\(p_1c^1_1 + p_2 ( c^1_2 - 1) + p_3 (c^1_3 - 2) = 0\)
\(p_1 c^1_1 + p_2 (c^1_1 \frac{p_1}{p_2}-1) + p_3 (c^1_3 - 2) = 0\)
\(2p_1 + p_2 (2 \frac{p_1}{p_2}-1) - 2p_3 = 0\)
\(2p_1 + 2p_1 - p_2 - 2p_3=0\)
\(4p_1 - 2p_3 = p_2\)

Igualando as equações de preços:

\(4p_1 - 2p_3 = p_1 + p_3\)
\(3p_1 = 3p_3\)
\(p_1=p_3\)

Substituindo mais uma vez:

\(2p_1 = p_2\)

Normalizando \(p_1\) para \(p_1 = R\), temos \(p=(1,2,1)'\).

Sendo \(\frac{c_2}{c_1}={p_1}{p_2}\) \(\Rightarrow\) \(c^1_2=2\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(c^1_2=1\) e, como \(c^1_2 + c^2_2 = 2\), tem-se que \(c^2_2=1\).

\(c_1 =h_1\) \(\Rightarrow\) \(h^1_1 = 2\) e \(h^1_2 = -2\)
\(c^1_2 =1+h^1_2\) \(\Rightarrow\) \(h^1_2 = 1-1\) \(\Rightarrow\) \(h^1_2 =0 e h^2_2 = 0\)
\(c^1_3 = 2 + h^1_2 + h^1_3\) \(\Rightarrow\) \(h^1_3 = -2 e h^2_3 = 2\)

O efeito da inovação financeira é alterar o equilíbrio. Agora, tem-se:

\(h^1=(2,,-2) e h^2=(-2,0,2)\)
\(c^1=(2,1,0) e c^2=(0,1,2)\)
\(p=(1,2,1)\)

Ao incorporarmos o novo ativo, a matriz de payoffs passa a ser:

\[X=\left[\begin{array}{cc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&1 \end{array}\right]\] e

\[Xh=\left[\begin{array}{cc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} h_1\\ h_2\\ h_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} h_1\\ h_2\\ h_2 + h_3 \end{array}\right]\]

\(\Rightarrow\) Agora o mercado é completo.

comentou 6 dias atrás por Fernanda Amorim (11 pontos)  
Boa resolução do Exercício, Luiz Filippe! Esse exercício é muito bom porque revisa bem as questões de equilíbrio, não-arbitragem, precificação e a parte de otimização de carteiras, por isso, é bem completo,  lembro que  estudei por ele para a prova.  Fiquei confusa em alguns momentos da resolução com as notações, mas verificando o exercício com calma consegui entender os passos.
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