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Otimização de carteira, não arbitragem, precificação em mercado incompleto e inovação financeira.

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perguntada Nov 5, 2019 em Economia por Luiz Filippe (6 pontos)  

Considere uma economia com dois períodos, com dois consumidores que não consumem no primeiro período com funções de utilidade \(U^i\) e dotações iniciais \(w^i\), dois ativos e 3 estados no segundo período:

\(U^i(c_1,c_2,c_3) = log c_1 + log c_2\) ; \(w_1=(0,1,2)'\)
\(U^i(c_1,c_2,c_3) = log c_2 + log c_3\) ; \(w_2=(2,1,0)'\)

\(S=3,\quad J=2,\quad \
{\bf X}= \left[\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}\right] \)

a) Encontre os planos de consumo e o equilíbrio de preços.
Considere um terceiro ativo (0, 0, 1)'

b) E possível replicar esse ativo usando os dois outros ativos?

c) Na ausência de arbitragem, qual o intervalo de preços possíveis para
esse ativo?

d) Determine agora o equilíbrio da economia considerando um mercado
com os três ativos. Qual o efeito dessa inovação financeira?

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1 Resposta

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respondida Nov 19, 2019 por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Dez 3, 2019 por Luiz Filippe

LETRA A

O problema de maximização para o indivíduo i é:

\(max \quad u^i(c^i)\)
\(\qquad s.a \quad c_0^i \leq w_0^i- \left \langle p,h \right \rangle\)
\(\qquad \qquad c_s^i \leq w_s^i+ Xh\)

Consumidor 1

O problema informa que não há consumo no 1º período. Além do mais, o consumidor não valoriza o consumo no estado 3. Então, tem-se:

\(max \quad logc_1 + logc_2\)
\(\qquad s.a \quad p_1h_1 + p_2h_2 \leq 0\)
\(\qquad \qquad c_1 \leq 0 + h_1^1\)
\(\qquad \qquad c_2 \leq 1 + h_2^1\)

Manipulando as restrições acima chegamos a \(h_2^1=c_2-1\). Assim:

\(\mathcal{L} = log(c_1) + log(c_2) + \lambda[p_1c_1 + p_2(c_2-1)]\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1} = 0\)
\(\qquad \frac{1}{c_1} = \lambda p_1\)
\(\qquad \frac{1}{c_1p_1}=\lambda\)

\(\frac{\mathcal{L}}{\partial c_2}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_2} = \lambda p_2\)

Resolvendo:

\(\frac{1}{c_2} = \frac{1}{c_1p_1}p_2 \quad \Longrightarrow \frac{c_1}{c_2}=\frac{p_2}{p_1}\)

\(\qquad\) Normalizando \(p_1=1\), temos que \(p_2=\frac{c_1}{c_2}\). Ao substituirmos na primeira restrição:

\(h_1+\frac{c_1}{c_2}h_2=0\) ; (vale com igualdade, pois \(u\) é estritamente crescente em \(c_1\))

\(\qquad\) Pela restrição 2, \(h_1^1=c_1\):

\(c_1 + \frac{c_1}{c_2}h_2=0 \Rightarrow \quad h_2=-c_1\frac{c_2}{c_1} \Rightarrow \quad c_2=-h_2\)

\(\qquad\) Da restrição 3, vemos que

\(c_2=1+h_2^1 \Rightarrow \quad c_2=1-c_2 \Rightarrow \quad c_2^1=\frac{1}{2}\)
\(h_2^1=-\frac{1}{2}\)
\(c_1^1=h_1\)

Consumidor 2

Assim como o consumidor 1, o consumidor 2 também não consome na data 0. Além do mais, não há valorização do consumo no estado da natureza 1. Assim:

\(\max \quad logc_2 + logc_3\)
\(\qquad s.a. p_1h_1 + p_2h_2 \leq 0\)
\(\qquad \quad c_1 \leq 2 + h_1\)
\(\qquad \quad c_2 \leq 1+h_2\)
\(\qquad \quad c_3 \leq 0 + h_2\)

\(\mathcal{L} = logc_2 + logc_3 + \mu[p_1h_1+p_2h_2] + \lambda_1[2+h_1-c_1] +\)
\(\qquad\) \(\lambda_2[1+h_2-c_2] + \lambda_3[h_2-c_3]\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1}=0\)
\(\qquad \lambda_1=0\) ; (Restrição inativa)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_2}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_2}=\lambda_2\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_3}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_3}=\lambda_3\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_1}=0\)
\(\qquad \mu p_1 = 0\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_2}=0\)
\(\qquad \mu p_2+\lambda_1+\lambda_2=0 \Rightarrow \mu=-\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{p_2}\) ; (\(\mu \ne 0\) porque nem \(p_2\) nem \(\lambda_i\) são 0).

Como consumir \(c_1\) não traz utilidade ao consumidor, ele investirá o menor valor possível em \(h_1\). Assim:

\(\qquad\) \(c_1 \leq 2+h_1 \Rightarrow \quad 0 = 2 + h_1 \Rightarrow \quad h_1^2=-2\)

Por market-clearing:

\(h_1^1=2 \Rightarrow \quad c_1^1=2\)
\(h_2^2=\frac{1}{2}\)
\(c_2^2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow c_2^2=\frac{3}{2}\)
\(c_2^3=\frac{1}{2}\)

\(\frac{p_1}{p_2}=\frac{c_2^1}{c_1^1}=\frac{1}{4}\)

LETRA B

\[a\left[\begin{array}{cc} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right]+ b\left[\begin{array}{cc} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \Rightarrow \begin{array}{c} a + 0 = 0\\ 0 + b = 0\\ 0 + b = 1 \end{array}\]

Como observado, \(b=0\) e \(b=1\), um absurdo. Logo, não é possível replicar o ativo \((0,0,1)'\).

LETRA C

\(q_l(z) = max\left \{ ph: Xh \le z \right \}\)
\(q_u(z) = min\left \{ph: Xh \ge z\right \}\)

Como \(\frac{p_1}{p_2}=\frac{1}{4}\), normalizaremos \(p_1=R\) e \(p_2=R\). Além do mais, na ausência de arbitragem, \(q_u(z) \ge q_l(z)\). Façamos:

\(max \quad h_1 + 4h_2\)
\(\qquad s.a. \quad h_1 \le 0\)
\(\qquad s.a. \quad h_2 \le 0\)
\(\qquad s.a \quad h_2 \le 1\)

\(\Longrightarrow\) Assim, \((h^*_1,h^*_2)=(0,0)\)

\(min \quad h_1 + 4h_2\)
\(\qquad s.a. \quad h_1 \ge 0\)
\(\qquad s.a. \quad h_2 \ge 0\)
\(\qquad s.a. \quad h_2 \ge 1\)

\(\Longrightarrow\) \((h^*_1,h^*_2)=(0,1)\)

Teremos, então:

\(q_l(z)= 1*0+4*0=0\) e \(q_u(z)=1*0+4*1=4\). Assim:

\(q_l(z) \le \pi \le q_u(z)\) \(\Rightarrow\) \(0 \le \pi \le 4\)

LETRA D

Consumidor 1

\(max \quad logc_1 + logc_2\)
\(\qquad s.a. \quad \sum_{s}p_sc_s \le \sum_{s}p_sw_s\)

\(\mathcal{L}=logc_1+logc_2- \lambda\left [ p_1c^1_1 + p_2c^1_2+p_3c^1_3-p_1w^1_1-p_2w^1_2-p_3w^1_3\right ]\)

CPO:

\(c_1: \frac{1}{c_1}=\lambda p_1\)
\(c_2: \frac{1}{c_2}=\lambda p_2 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{c_2p_2}\)
\(c_3: \lambda p_3=0\)

Resolvendo:

\(\frac{1}{c_1}=\frac{1}{c_2p_2}p_1\)
\(\frac{c_2}{c_1}=\frac{p_1}{p_2}\)

Consumidor 2

\(max \quad logc_2 + logc_3\)
\(\qquad s.a. \quad \sum_{s}w^2_s \le \sum_{s}c^2_s\) \(\Rightarrow\) consigo multiplicar por \(p_s\) dos dois lados para obter: \(\sum_{s}p_sw^2_s \le \sum_{s}p_sc^2_s\)

\(\mathcal{L}=logc_2 + logc_3 + \lambda\left [p_1c^2_1+p_2c^2_2+p_3c^2_3-p_1w^2_1-p_2w^2_2-p_3w^2_3 \right]\)

CPO:

\(c_1: \lambda_1p_1=0\)
\(c_2: \frac{1}{c_2}= \lambda p_2\)
\(c_3: \frac{1}{c_3}=\lambda p_3\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{c_3p_3}=\lambda\)

\(h_1: \mu p_1 + \lambda_1 = 0\)
\(h_2: \mu p_2 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0\)
\(h_3: \mu p_3 + \lambda_3 = 0\)

\(\frac{1}{c^2_2}=\frac{1}{c^2_3p_3}p_2\)
\(\frac{c^2_3}{c^2_3}=\frac{p_2}{p_3}\)

Como o investidor não eleva sua utilidade ao consumir no estado 1, ele investe o mínimo possível em \(h_1\):

\(c_1=2+h_1\) \(\Rightarrow\) \(h^2_1=-2\). Por market-clearing, \(h^1_1=2 e c^2_1=0\)

Por market-clearing:

\(c^1_1 +c^2_1 = w^1_1 + w^2_1 \)
\(c^1_1 + 0 = 0 + 2\) \(\Rightarrow\) \(c^1_1 = 2\)

\(c^1_3 = 0\) :
\(c^1_3 + c^2_3 = w^1_3 + w^2_3\)
\(0 + c^2_3 = 2 + 0\) \(\Rightarrow\) \(c^2_3 = 2\)

\(c^1_2 + c^2_2 = w^1_2 + w^2_2\)
\(c^1_1\frac{c^1_2}{c^1_1} + c^2_3\frac{c^2_2}{c^3_3}=2\) \(\Rightarrow\) \(c^1_1\frac{p_1}{p_2}+c^2_3\frac{p_3}{p_2}=2\) \(\Rightarrow\) \(\frac{2\left ( p_1 + p_3 \right )}{p_2}=2\) \(\Rightarrow\) \(p_1 + p_3 = p_2\)

Tomando novamente as restrições do problema de maximização, temos que \(p_1 h_1+p_2 h_2 + p_3 h_3 = 0\), \(c^1_1 \le 0 + h^1_1\), \(c^2_1 \le 1 + h^1_2\) e \(c^1_3 \le 2 + h_2 + h_3\) ; \(h_2 = 0\):

\(p_1c^1_1 + p_2 ( c^1_2 - 1) + p_3 (c^1_3 - 2) = 0\)
\(p_1 c^1_1 + p_2 (c^1_1 \frac{p_1}{p_2}-1) + p_3 (c^1_3 - 2) = 0\)
\(2p_1 + p_2 (2 \frac{p_1}{p_2}-1) - 2p_3 = 0\)
\(2p_1 + 2p_1 - p_2 - 2p_3=0\)
\(4p_1 - 2p_3 = p_2\)

Igualando as equações de preços:

\(4p_1 - 2p_3 = p_1 + p_3\)
\(3p_1 = 3p_3\)
\(p_1=p_3\)

Substituindo mais uma vez:

\(2p_1 = p_2\)

Normalizando \(p_1\) para \(p_1 = R\), temos \(p=(1,2,1)'\).

Sendo \(\frac{c_2}{c_1}={p_1}{p_2}\) \(\Rightarrow\) \(c^1_2=2\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(c^1_2=1\) e, como \(c^1_2 + c^2_2 = 2\), tem-se que \(c^2_2=1\).

\(c_1 =h_1\) \(\Rightarrow\) \(h^1_1 = 2\) e \(h^1_2 = -2\)
\(c^1_2 =1+h^1_2\) \(\Rightarrow\) \(h^1_2 = 1-1\) \(\Rightarrow\) \(h^1_2 =0 e h^2_2 = 0\)
\(c^1_3 = 2 + h^1_2 + h^1_3\) \(\Rightarrow\) \(h^1_3 = -2 e h^2_3 = 2\)

O efeito da inovação financeira é alterar o equilíbrio. Agora, tem-se:

\(h^1=(2,,-2) e h^2=(-2,0,2)\)
\(c^1=(2,1,0) e c^2=(0,1,2)\)
\(p=(1,2,1)\)

Ao incorporarmos o novo ativo, a matriz de payoffs passa a ser:

\[X=\left[\begin{array}{cc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&1 \end{array}\right]\] e

\[Xh=\left[\begin{array}{cc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} h_1\\ h_2\\ h_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} h_1\\ h_2\\ h_2 + h_3 \end{array}\right]\]

\(\Rightarrow\) Agora o mercado é completo.

comentou Dez 9, 2019 por Fernanda Amorim (11 pontos)  
Boa resolução do Exercício, Luiz Filippe! Esse exercício é muito bom porque revisa bem as questões de equilíbrio, não-arbitragem, precificação e a parte de otimização de carteiras, por isso, é bem completo,  lembro que  estudei por ele para a prova.  Fiquei confusa em alguns momentos da resolução com as notações, mas verificando o exercício com calma consegui entender os passos.
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