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Replicação de portfólio, taxa livre de risco, preço de estado e probabilidade neutra ao risco

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perguntada Out 30 em Finanças por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Out 30 por Luiz Filippe

[Capítulo 2, exercício 1 do livro "Asset Pricing for Dynamics Economies" - Sumru Altug e Pamela Labadie]

Suponha que existam 1 data e 2 estados da natureza na economia. Os ativos comercializados são 2 ações. Os preços atuais das ações são dados por \( q = (q_1, q_2) = (80, 88) \) e os preços futuros para cada possível estado da natureza satisfaz:

\[\left[\begin{array}{cc} 120 & 80 \\ 160 & 60 \end{array}\right]\]

Um portfólio replicante é um portfólio que nos permite obter um dado conjunto de payoffs nos estados da natureza existentes.

(a) Qual é o portfólio replicador que retorna $100 em cada estado da natureza?
(b) Qual é o valor desse portfólio hoje? Qual é a taxa livre de risco nesta economia?
(c) Encontre os preços de estado e as probabilidades neutras ao risco.
(d) Uma put option (opção de venda) dá ao dono o direito de vender uma ação a um preço de exercício dado. Encontre o valor de hoje da put option definida na segunda ação, com preço de exercício de $80.

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1 Resposta

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respondida Out 30 por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Out 30 por Luiz Filippe

a)

Façamos a matriz de payoffs (X):

\[X=\left[\begin{array}{cc} 120 & 80 \\ 160 & 60 \end{array}\right]\]

Sendo \(h = (h_1, h_2)'\), o portfólio replicador é:

\[Xh=\left[\begin{array}{cc} 100 \\ 100 \end{array}\right]\]

Aplicando a regra de Cramer para resolver o sistema, encontramos

\(h_1 =\frac{25}{14}\) e \(h_2 =\frac{-5}{7}\)

b)

O valor do portfólio hoje é

80\(\frac{25}{14}\) - 88\(\frac{5}{7}\) = $80

A taxa livre de risco da economia é \(\bar{r} =\frac{1}{Σ_s \psi_s}\), sendo \(\psi_s\) o preço de estado. Como o mercado é completo e \(\psi = (\psi_1, \psi_2)\) encontramos os preços de estado a partir de:

\(q = \psi'X\)

\[\psi\'X=\left[\begin{array}{cc} 80 \\ 88 \end{array}\right]\]

Então chegamos ao sistema

\(120\psi_1 + 80\psi_2 = 80\)
\(160\psi_1 + 60\psi_2 = 88\) ,

cuja solução é \(\psi_1 = 0,4\) e \(\psi_2 = 0,4\).

Então, conseguimos chegar à taxa livre de risco bruta:

\(\bar{r} =\frac{1}{Σ_s \psi_s}\) => \(\bar{r} =\frac{1}{0,4 + 0,4}\) => \(\bar{r} =\frac{1}{0,8}\) => \(\bar{r}= 1,25\)

A taxa livre de risco líquida é 25%.

c)

\(\psi_1 = 0,4\)
\(\psi_2 = 0,4\)

As probabilidades neutras ao risco são:

ESTADO 1

\(\pi_1*\) = \(\frac{0,4}{0,4 + 0,4}\) = \(\frac{1}{2}\)

ESTADO 2

\(\pi_1*\) = \(\frac{0,4}{0,4 + 0,4}\) = \(\frac{1}{2}\)

d)

A imagem será apresentada aqui.
A imagem será apresentada aqui.

Sendo "q" a probabilidade neutra ao risco, tem-se:

\(C =\frac{qC_u + (1-q)C_d}{1+ \bar{r}}\)
\(C = \frac{0,5*0 + 0,5*20}{1,25}\)
C = $8

comentou 3 dias atrás por Felipe Yudi (21 pontos)  
editado 3 dias atrás por Felipe Yudi
Luiz, acredito que os procedimentos que você adotou para resolver os exercícios estão certos. Porém, acho que a solução do sistema da letra "a" é h1 = 5/14 e h2 = 5/7.  Se eu estiver correto, você carregou esse erro para os outros itens, especialmente para o cálculo do valor do portfólio.
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