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Replicação de portfólio, taxa livre de risco, preço de estado e probabilidade neutra ao risco

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perguntada Out 30, 2019 em Finanças por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Out 30, 2019 por Luiz Filippe

[Capítulo 2, exercício 1 do livro "Asset Pricing for Dynamics Economies" - Sumru Altug e Pamela Labadie]

Suponha que existam 1 data e 2 estados da natureza na economia. Os ativos comercializados são 2 ações. Os preços atuais das ações são dados por \( q = (q_1, q_2) = (80, 88) \) e os preços futuros para cada possível estado da natureza satisfaz:

\[\left[\begin{array}{cc} 120 & 80 \\ 160 & 60 \end{array}\right]\]

Um portfólio replicante é um portfólio que nos permite obter um dado conjunto de payoffs nos estados da natureza existentes.

(a) Qual é o portfólio replicador que retorna $100 em cada estado da natureza?
(b) Qual é o valor desse portfólio hoje? Qual é a taxa livre de risco nesta economia?
(c) Encontre os preços de estado e as probabilidades neutras ao risco.
(d) Uma put option (opção de venda) dá ao dono o direito de vender uma ação a um preço de exercício dado. Encontre o valor de hoje da put option definida na segunda ação, com preço de exercício de $80.

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1 Resposta

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respondida Out 30, 2019 por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Dez 3, 2019 por Luiz Filippe

a)

Façamos a matriz de payoffs (X):

\[X=\left[\begin{array}{cc} 120 & 80 \\ 160 & 60 \end{array}\right]\]

Sendo \(h = (h_1, h_2)'\), o portfólio replicador é:

\[\left[\begin{array}{cc} 120 & 80 \\ 160 & 60 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} h_1 \\ h_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 100 \\ 100 \end{array}\right]\]

Resolvendo o sistema abaixo,

\(120h_1 + 80h_2 = 100\)
\(160h_1 + 60h_2 = 100\)

encontramos os valores de h:

\(\Longrightarrow\) \(h_1 = \frac{5}{14}\) e \(h_2 = \frac{5}{7}\)

b)

O valor do portfólio hoje é

80\(\frac{5}{14}\) - 88\(\frac{5}{7}\) = $91,43

A taxa livre de risco da economia é \(\bar{r} =\frac{1}{Σ_s \psi_s}\), sendo \(\psi_s\) o preço de estado. Como o mercado é completo e \(\psi = (\psi_1, \psi_2)\) encontramos os preços de estado a partir de:

\(q = \psi'X\)

\[\psi_1\left[\begin{array}{cc} 120 \\ 160 \end{array}\right] + \psi_2\left[\begin{array}{c} 80 \\ 60 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 80 \\ 88 \end{array}\right]\]

Então chegamos ao sistema

\(120\psi_1 + 80\psi_2 = 80\)
\(160\psi_1 + 60\psi_2 = 88\) ,

cuja solução é \(\psi_1 = 0,4\) e \(\psi_2 = 0,4\).

Então, conseguimos chegar à taxa livre de risco bruta:

\(\bar{r} =\frac{1}{Σ_s \psi_s}\) => \(\bar{r} =\frac{1}{0,4 + 0,4}\) => \(\bar{r} =\frac{1}{0,8}\) => \(\bar{r}= 1,25\)

A taxa livre de risco líquida é 25%.

c)

\(\psi_1 = 0,4\)
\(\psi_2 = 0,4\)

As probabilidades neutras ao risco são:

ESTADO 1

\(\pi_1*\) = \(\frac{0,4}{0,4 + 0,4}\) = \(\frac{1}{2}\)

ESTADO 2

\(\pi_1*\) = \(\frac{0,4}{0,4 + 0,4}\) = \(\frac{1}{2}\)

d)

A imagem será apresentada aqui.
A imagem será apresentada aqui.

Sendo "q" a probabilidade neutra ao risco, tem-se:

\(C =\frac{qC_u + (1-q)C_d}{1+ \bar{r}}\)
\(C = \frac{0,5*0 + 0,5*20}{1,25}\)
C = $8

comentou Nov 9, 2019 por Felipe Yudi (41 pontos)  
editado Nov 9, 2019 por Felipe Yudi
Luiz, acredito que os procedimentos que você adotou para resolver os exercícios estão certos. Porém, acho que a solução do sistema da letra "a" é h1 = 5/14 e h2 = 5/7.  Se eu estiver correto, você carregou esse erro para os outros itens, especialmente para o cálculo do valor do portfólio.
comentou Dez 3, 2019 por Luiz Filippe (6 pontos)  
Obrigado, Felipe! Corrigi o erro na questão.
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