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Cálculo de opção de abandono com valores residual dinâmico

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perguntada Out 19 em Finanças por Fernanda Amorim (11 pontos)  

Calcule o valor da opção de abandono do NanoNano, assumindo que o valor residual seja de US$ 120 milhões no primeiro ano e diminua em US $ 10 milhões a cada ano seguinte, terminando com US$ 80 milhões no quinto e último ano. Como esse valor da opção se compara com o do caso base em que o valor residual (US $ 120 milhões) é estático durante toda a vida útil da opção?*

*Questão retirada do livro Project Valuation Using Real Options - A Practitioner's Guide de Prasad Kodukula e Chandra Papudesu.

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2 Respostas

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respondida Out 19 por Fernanda Amorim (11 pontos)  
editado Out 30 por Fernanda Amorim

Para começar o cálculo da opção de abandono é necessário calcular os parâmetros da opção e construir a árvore binomial, começando com o primeiro valor da opção no t=0 que é 200 milhões. Existem duas possibilidades para a opção em t=1, subir de valor (up) ou descer de valor (down), o cálculo dos valores em cada nó é feito com a multiplicação de
\(u\)para os casos de subida e \(d\) para os casos de descida. Para cada um dos nós nos 5 anos considerados no exercício, a árvore binomial pode ser vista abaixo.
Parâmetros do Problema:
\(S_0 = 200 milhões\)
\(X_1 = 120 milhões\)
\(X_2 = 110 milhões \)
\(X_3 = 100 milhões\)
\(X_4 = 90 milhões\)
\(X_5 = 80 milhões\)
\(T = 5\)
\( \sigma = 0.45\)
\(r = 0.05\)
\( \delta t = 1\)

Calculando os Parâmetros

\(u = \exp{( \sigma \delta t)}^{(1/2)} \)
\(d = 1/u \)
\( p = \exp{(r \delta t ) - d)/(u - d)} \)

Os valores encontrados foram:
\( u = 1.57\), \(d= 0.64\) e \(p = 0.44\)
A imagem será apresentada aqui.

Após a construção da árvore binomial, é feito o cálculo dos valores da opção de abandono em cada um dos nós por indução retroativa e a análise do valor residual em cada ano. No primeiro ano, o valor residual é de 120 milhões e vai diminuindo 10 milhões a cada ano, no segundo o ano o valor residual vai para 110, no terceiro para 100, no quarto ano para 90 e no quinto e último ano para 80. Os valores da opção de abandono são comparados com o valor residual de cada ano e caso for menor, o projeto é abandonado. Para calcular o valor da opção em cada nó, é feito da seguinte forma, usando
\[S_{0}u^3\] como exemplo.

\( S_{0}u^3 = (p(S_{0}u^4) + (1 - p)(S_{0}du^3))* \exp{(-r \delta t)}\)
\(S_{0}u^3 = (0.44( 1209.9) + 0.56( 491.9)*0.95 = 771,5\)

Comparando com a árvore binomial em que o valor residual de 120 milhões é estático, isto é, não muda ao longo dos anos, é visto que não há grande diferença nos payoffs de abandono de uma arvore para outra e o valor estimado do projeto no primeiro nó é de 209,9 com um excedente menor do que 17,3 da arvore binomial com valor residual estático. A árvore binomial com valor residual estático está abaixo.

A imagem será apresentada aqui.

comentou Out 30 por danielcajueiro (5,806 pontos)  
Renata, tem uma equacao com erro acima.
comentou Out 30 por Fernanda Amorim (11 pontos)  
Corrigido, professor!
comentou Out 30 por danielcajueiro (5,806 pontos)  
Desculpe, troquei os nomes. Estava olhando varios post ao mesmo tempo.
comentou Nov 23 por Gustavo Medeiros (26 pontos)  
Exercício muito bom, mais difícil que os tradicionais sobre o assunto. Solução didática e clara assim como a comparação feita. Parabéns Fernanda.
Só tenho uma observação, acredito que o último nó da árvore (S0*d^5) do valor do ativo da primeira imagem seja 21,1, o mesmo valor que assume na segunda imagem.
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respondida Nov 23 por Gustavo Medeiros (26 pontos)  
editado Nov 23 por Gustavo Medeiros

Uma outra maneira de achar o valor da opção seria usar o Python, ajustando o código utilizado para calcular opção de abandono. Como o valor da opção é calculado retroativamente, usamos X=80 que é o valor recebido caso a opção seja exercida no último período. A cada calculo retroativo adicionamos 10 ao valor a ser recebido caso a opção seja exercida, de forma que chegamos ao primeiro nó com X=120. O código segue abaixo:

def Arvore_Binomial_Abandono(n, S0, X, r, v, t): 
 import numpy as np
 At=n/t
 u=np.exp(v*np.sqrt(At))
 d=1/u
 p=(np.exp(r*At)-d)/(u-d)

 assetvalue=np.zeros((n+1,n+1))  #Valor do Ativo em cada nó da Árvore começando por S0
 assetvalue[0,0]=S0               
 for i in range (1,n+1):
     assetvalue[0,i]=assetvalue[0,i-1]*u
     for j in range (1,i+1):
         assetvalue[j,i]=assetvalue[j-1,i-1]*d

 optionvalue=np.zeros((n+1,n+1))    #Valor da opçao nos últimos nós da Árvore
 for j in range(n+1):
     optionvalue[j,n]=max(assetvalue[j,i], X-(optionvalue[j,n])) 

 for i in range (n-1,-1,-1):   #Calcula valor da opção retroativamente 
     for j in range(i+1):
         optionvalue[j,i]=max( X+(10*(5-i))- optionvalue[j,i], np.exp(-r*At)*(p*optionvalue[j,i+1]+(1-p)*optionvalue[j+1,i+1]))

 return assetvalue.round(1), optionvalue.round(1)

if __name__=='__main__':
 print(Arvore_Binomial_Abandono(5, 200, 80, 0.05, 0.45, 5))

O resultado é uma primeira matriz com o valor do ativo e uma segunda matriz com o valor da opção:

A imagem será apresentada aqui.

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