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Verificação de presença de arbitragem, completeza do mercado e existência e unicidade de preços de estados.

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perguntada Set 7, 2019 em Economia por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Out 30, 2019 por Luiz Filippe

Considere os pares de payoffs e preços.

Mercado 1)

p = (1,1,0), \[X=\left[\begin{array}{cc} 1.2 & 1 & 0.8 \\ 0.9 & 1.2 & 1.3\\ 0.8 & 1.3 & 1.1\\ \end{array}\right]\]

Mercado 2)

p = (3,3), \[X=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right]\]

a) Quais pares são livres de arbitragem?

b) Verifique se o mercado é completo. Em caso negativo, encontre
um ativo que não pode ser replicado nesse mercado.

c) Verifique a existência e a unicidade de preços de estados.

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1 Resposta

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respondida Set 8, 2019 por Luiz Filippe (6 pontos)  
editado Dez 3, 2019 por Luiz Filippe

a)

Para o mercado 1

Dada a matriz de payoffs

\[X=\left[\begin{array}{cc} 1,2 & 1 & 0,8\\ 0,9 & 1,2 & 1,3 \\ 0,8 & 1,3 & 1,1 \end{array}\right]\]

Encontremos os preços para cada estado. Para tal, definamos um vetor \(q = (q_1, q_2, q_3)'\), preço para cada estado possível, tal que \(q'X = p\):

\[\left[\begin{array}{c} q_1 & q_2 & q_3 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1,2 & 1 & 0,8 \\ 0,9 & 1,2 & 1,3 \\ 0,8 & 1,3 & 1,1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]\]

Podemos usar a regra de Cramer para encontrar o vetor q:

\[q=\left[\begin{array}{cc} 1,42 \\ -2,74\\ 2,21 \end{array}\right]\]

---> Como o preço do estado 2 é negativo, tem-se que existe oportunidade de arbitragem no mercado 1.

Para o mercado 2

Sabe-se que quando a lei do preço único não é válida, há oportunidades de arbitragem. A lei do preço único é invalidada caso \(Xh = 0 => ph ≠ 0\). Suponhamos \(h'X = 0\). Ao multiplicarmos o vetor h pela matriz de payoffs do mercado:

\[\left[\begin{array}{cc} h_1 & h_2 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right]\]

\(h_1 = 0\)
\(h_1 + h_2 = 0 => h_2 = 0\)

\(ph ≠ 0 => 3 h_1 + 3 h_2 = 3*0 + 3*0 ≠ 0\) (Absurdo!)

---> Logo, a lei do preço único é válida. Deste modo, o mercado 2 está livre de oportunidades de arbitragem.

b)

O mercado não é completo.

Para o mercado ser completo, \(rank(X) = S\). No caso do mercado 2, temos 2 ativos e 3 estados da natureza. O posto da matriz é 2. Logo, o mercado é incompleto.

Um ativo que não pode ser replicado no mercado é aquele que não pertence ao spam {\(x_1\), \( x_2\)}. Assim, por exemplo:

\([0, 0, 3]'\) é não replicável no mercado, pois tal ativo não pertence ao conjunto dos vetores que são combinação linear dos 2 ativos base do mercado.

c)

Mercado 1

Como não existe arbitragem no mercado 2, existem preços de estado. Para provar:

--> Definamos \(γ ∈ R^s_+\) como o vetor de preços de estados, tal que \(q = Xγ\); X é a matriz de payoff.

--> Provemos por contradição. Suponhamos que \(∄ γ\).

Sendo A = {Xγ | γ ∈ \(R^s_+\)} o conjunto de preços de carteira que retornam determinado payoff.

B = {cq | c \(>\) 0}

--> A∩B = 0. Ou seja, não existem ativos cujos preços se igualem ao payoff contingente ao estado da natureza. Assim, pelo teorema da separação de hiperplanos, ∃ λ ∈ \(R^n_+\) tal que:

\( λcq ≤ λXγ , ∀ c ∈ R_+, γ ∈ R^s_+\)

Como Xγ ∈ \(R^s_+\), tem-se que \(λq ≤ 0\) e \(Xγ ≥ 0\). Além do mais, como nossa matriz X é posto cheio, ∃ λ ≠ 0 tal que λX = 0. Assim, λX \(>\) 0. Consequentemente:

\( λq ≤ 0\) e \(λX > 0\) => uma arbitragem, contradizendo nossa hipótese.

---> Logo, ∃ o vetor de preços de estados.

Mercado 2

No caso deste mercado, podemos perceber que ele é incompleto porque o posto da matriz é diferente do total de ativos. Existe ativo não replicável neste mercado (como mostrado no item b).

comentou Out 30, 2019 por danielcajueiro (6,086 pontos)  
Luiz, vc precisa colocar um titulo sugestivo para a sua pergunta (Resuma o problema em uma linha). Vc colocou o inicio da pergunta no titulo. Isso vc pode colocar junto com o resto do material da pergunta.
comentou Out 30, 2019 por Luiz Filippe (6 pontos)  
Entendi. Obrigado, Cajueiro!
comentou Nov 3, 2019 por Renata Oliveira (46 pontos)  
Luiz, tuas respostas estão bem explicadas e completas, é um ótimo exemplo para comparar mercados completos e incompletos. Na parte (a) acabei chegando a um vetor q um pouco diferente, mas  a conclusão foi a mesma. Encontrei q = [1.90, -3.23, 2.43]. Em relação à letra (c), tenho apenas uma ressalva: note que o mercado 2 é incompleto e, por isso, nem sempre é possível definir os preços de estado (tu mesmo colocaste como exemplo que o payoff [0 0 3]' - e consequentemente o payoff e_3 = [0 0 1]' - não está no span dos ativos do mercado 2). Neste caso, q(e_3) = q_3 não está definido no mercado 2. Assim, uma condição para a existência dos preços de estado é a completude do mercado, o que garante que os payoffs e_s podem ser obtidos por uma combinação dos payoffs do mercado e os preços de estado podem ser obtidos aplicando o funcional de apreçamento a estes payoffs. Em relação à unicidade, lembra que em mercados completos o funcional de apreçamento associa um único preço a cada direito contingente. Já em mercados incompletos, os preços de estado não são únicos pois como a matriz X tem posto menor que S existem infinitas soluções para o sistema p' = q'X. Acho que a tua resposta da (c) se aplicaria ao mercado 1!
comentou Dez 3, 2019 por Luiz Filippe (6 pontos)  
Obrigado, Renata! Corrigi a questão.
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