Question

Seja \(T:\mathcal{P}_4\rightarrow\mathcal{P}_4\) dada por \(T(p(x))=\frac{d^2 p(x)}{dx^2}\). Encontre o núcleo e a imagem dessa transformação.

Comments

Professor, não seria T: P4  >  P2?  Pois ao fazer uma derivada de segunda em P4, chega-se a P2.

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Obs : O sinal de maior é uma flecha.

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Seja T: V \(\rightarrow\) W. Note que o conjunto de chegada W não precisa ser necessariamente igual a imagem \(\mathcal{P}_2\).

Answer 1

Note que o núcleo de \(T\) é formado por todos os polinômios do tipo \(ax+b\). Logo, possui dimensão igual a 2.

Note que a imagem de \(T\) é formado por todos os polinômios do tipo \(ax^2 + bx + c \).

Comments

Mas então eu posso falar que P1, P2 e P3 são subespaços de P4, correto?

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Professor, eu posso utilizar o seguinte teorema nesse exercício?
Teorema do Núcleo e da Imagem:
 Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita
sobre um corpo K. Considerando a transformação linear T : U → V , então:
dim(U) = dim(N (T)) + dim(Im(T))

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Sim, vc pode usar o teorema.