Sabendo que \(\{v_1,\cdots,v_n\}\) é uma base para \(V\) então \(V\) tem dimensão \(n\) e precisamos apenas checar se os \(n\) vetores \(\{v_1+v_2,v_2+v_3,\cdots,v_{n-1}+v_n,v_n+v_1\}\) são linearmente independentes.
Precisamos checar se a equação vetorial
\[ c_1(v_1+v_2) + c_2(v_2+v_3)+\cdots c_{n-1} (v_{n-1}+v_n) + c_n(v_n+v_1)=0\] possui apenas solução nula.
Note que essa equação é equivalente a
\[(c_1+c_n) v_1 + (c_1+c_2)v_2 +\cdots + (c_{n-1}+ c_n)v_n=0\]
Precisamos resolver o sistema linear homogêneo
\[c_1+c_n=0\]
\[c_1+c_2=0\]
\[c_2 + c_3=0\]
\[\vdots\]
\[c_{n-1}+c_n=0\]
É fácil notar que esse sistema tem infinitas soluções se \(n\) é par., pois a última linha da matriz associada ao sistema acima pode ser escrita como combinção linear das linhas anteriores da seguinte forma:
\[L_n=L_1 -L_2 + L_3 -L_4 + \cdots -L_{n-2} + L_{n-1}\]