Uma matriz idempotente inversível é a identidade?

Question

Seja \(A\) uma matriz de ordem \(n\) idempotente (isto é, \(A^2=A\)). Logo, pode-se dizer que se \(A\) é inversível, então \(A=I\)?

Answer 1

Note que se \(A=A^2\), temos que \(A^2 - A=0 \). Portanto, \(A(A-I)=0\). Multiplicando essa equação por \(A^{-1}\), em ambos os lados, concluímos que \(A-I=0\) chegando ao resultado.

Comments

Boa noite, professor,

             Seria correto fazer A.A = A ---> A = A.A^-1 ---> A = I ? (Perdão, ainda não aprendi a usar o mecanismo de escrever termos matemáticos do site)

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A não é igual \(A A^{-1}\) no caso geral. Logo, NAO.

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Estaria correto se, pelas definições:

 1) A^2 = A <=> A.A = A               e              2) A.A^-1 = I

Desse modo,

A.A = A

Multiplicando à direita por A^-1, temos

A.A.A^-1 = A.A^-1

A.(A.A^-1) = (A.A^-1)

Se A.A^-1 = I, então

A.I = I
 
A = I
?