Considere que \(f(X)\) e \(g(X)\) tais que:
\[ f(X) = p_nX^n + ... + p_0\\
g(X) = q_mX^m + ... + q_0\]
Para \(f(X) + g(X)\) temos a expressão:
\[f(X) + g(X) = p_nX^n + ... + q_mX^m + ... + p_ 0 + q_0\]
Logo:
\[D(f(X) + g(X)) = np_nX^{n-1} + ... + mq_mX^{m-1} + ... + p_1 + q_1\\
= Df(X) + Dg(X)\]
Para \(a\cdot f(X)\) temos:
\[a\cdot f(X) = ap_nX^n + ... + ap_0\\
D(a\cdot f(X)) = anp_nX^{n-1} + ... + ap_1 = a(np_nX^{n-1} + ... + p_1)\\
= a\cdot Df(X)\]
Por fim, para \(f(X) \cdot g(X)\) temos:
\[f(X) \cdot g(X) = p_nq_mX^{n+m} + ... + p_iq_jX^{i + j} +... + q_0p_0\] onde \(i\) percorre os valores de 0 a \(n\) e j percorre os valores de 0 a \(m\). Para \(D(f(X) \cdot g(X))\):
\[D(f(X) \cdot g(X)) = (n + m)p_nq_mX^{n + m - 1} + ... + (i + j)p_iq_jX^{i + j - 1} + ... + p_1q_0 + p_0q_1\\
= np_nq_mX^{n + m - 1} + ... + ip_iq_jX ^{i + j -1} + ... + p_1q_0 \\
+ mp_nq_mX^{n + m - 1} + ... + jp_iq_jX^{i + j - 1} + ... + p_0q_1\\
= Df(X) \cdot g(X) + f(X) \cdot Dg(X)\]