Como verificar as seguintes propriedades da derivação de polinômios sobre um anel?

Question

Seja \(A\) um anel associativo comutativo unitário. Defina a aplicação \(D: A[X] \rightarrow A[X]\) por:
Se \(f(X) = a_nX^n + ... + a_0\) com \(a_i \in A\), então \(Df(X) = 0\) quando \(n = 0\) e, em geral,
\[Df(X) = na_nX^{n-1} + ... + a_1\]
Verifique que para \(f(X)\) em \(g(X)\) em \(A[X]\) e \(a \in A\), as seguintes propriedades valem:

1. \(D(f(X) + g(X)) = Df(X) + Dg(X)\)
2. \(D(a\cdot f(X)) = a \cdot Df(X)\)
3. \(D(f(X) \cdot g(X)) = Df(X) \cdot g(X) + f(X) \cdot Dg(X)\)

Answer 1

Considere que \(f(X)\) e \(g(X)\) tais que:
\[ f(X) = p_nX^n + ... + p_0\\ g(X) = q_mX^m + ... + q_0\]
Para \(f(X) + g(X)\) temos a expressão:
\[f(X) + g(X) = p_nX^n + ... + q_mX^m + ... + p_ 0 + q_0\]
Logo:
\[D(f(X) + g(X)) = np_nX^{n-1} + ... + mq_mX^{m-1} + ... + p_1 + q_1\\ = Df(X) + Dg(X)\]

Para \(a\cdot f(X)\) temos:
\[a\cdot f(X) = ap_nX^n + ... + ap_0\\ D(a\cdot f(X)) = anp_nX^{n-1} + ... + ap_1 = a(np_nX^{n-1} + ... + p_1)\\ = a\cdot Df(X)\]

Por fim, para \(f(X) \cdot g(X)\) temos:
\[f(X) \cdot g(X) = p_nq_mX^{n+m} + ... + p_iq_jX^{i + j} +... + q_0p_0\] onde \(i\) percorre os valores de 0 a \(n\) e j percorre os valores de 0 a \(m\). Para \(D(f(X) \cdot g(X))\):
\[D(f(X) \cdot g(X)) = (n + m)p_nq_mX^{n + m - 1} + ... + (i + j)p_iq_jX^{i + j - 1} + ... + p_1q_0 + p_0q_1\\ = np_nq_mX^{n + m - 1} + ... + ip_iq_jX ^{i + j -1} + ... + p_1q_0 \\ + mp_nq_mX^{n + m - 1} + ... + jp_iq_jX^{i + j - 1} + ... + p_0q_1\\ = Df(X) \cdot g(X) + f(X) \cdot Dg(X)\]