Para que \(x^4 + 1\) seja irredutível sobre \(\mathbb{Q}\), ele não deve possuir divisores de grau \(0 < d < 4\), logo, as possibilidades são divisores de grau 1, 2, ou 3. Uma vez que \(x^4 + 1\) não possui raízes em \(\mathbb{Q}\), este polinômio não possui divisores de grau 1, e, por consequência da identidade \(\text{grau}(P\cdot Q) = \text{grau}(P) + \text{grau}(Q)\), também não possui divisores de grau 3.
Agora, se \(x^4 + 1\) possuir divisores de grau 2, eles devem ser da forma: \[ x^4 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)\]
Donde, ao desenvolvermos a expressão do lado direito da equação, e igualando os coeficientes, temos:
\[a = -c\\
d = b\\
b = 1\\
a^2 = 2
\]
Como \(a^2 = 2\) não possui solução em \(\mathbb{Q}\), não existem tais polinômios em \(\mathbb{Q}[X]\). Ao mudarmos para a extensão algébrica \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), a equação \(a^2 = 2\) passa a ter soluções \(\sqrt 2\) e \(-\sqrt 2\). Logo, sobre \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), o polinômio \(x^4 + 1\) pode ser reduzido a
\[ (x^2 + \sqrt 2 x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x + 1)\]