O m.d.c. desses polinômios muda quando mudamos o corpo dos coeficientes?

Question

Considere os polinômios \(x^5 -4x^4 -3x^3 + 34x^2 - 52x + 24\) e \(x^3 -3x^2 + 4\). Qual o m.d.c entre eles considerando os coeficientes sobre o corpo \(\mathbb{Q}\)? E sobre o corpo \(\mathbb{F}_3\) (o corpo de classes de congruência módulo 3)?

Answer 1

Sobre o corpo \(\mathbb{Q}\), ao analisar as raízes do polinômio \(x^5 -4x^4 -3x^3 + 34x^2 -52x + 24\) percebe-se que ele pode ser fatorado como \((x-2)^3(x-1)(x+3)\). Analogamente, percebe-se que o polinômio \(x^3 -3x^2 + 4\) pode ser fatorado como \((x-2)^2(x+1)\), logo o m.d.c. entre eles é \((x-2)^2\).
Sobre o corpo \(\mathbb{F}_3\), o primeiro polinômio é congruente a \(x + 1 \pmod 3\), enquanto o segundo é congruente a \(x(x-1) \pmod 3\), logo são polinômios relativamente primos.