Se uma transformação linear é dada por uma matriz nilpotente de ordem 2, então posso afirmar que a imagem dessa transformação linear pertence ao núcleo?

Question

Dado um operador linear \(T:\Re^n\rightarrow \Re^n\), dada por \(T(x)=Ax\).
Se \(A^2=0\), então \(\mathcal{I}m(T)\subset \mathcal{N}(T)\)?

Answer 1

Sim! Note que \(y=T(x)=Ax,\forall x \in \Re^n\) é a imagem de \(T\). Se \(A^2=0\), então \(Ay=A^2 x=0\) implicando que a imagem de \(A\) pertence ao núcleo de \(T\).