Como é a imagem de um operador linear definido a partir de uma matriz nilpotente?

Question

Seja \(T:\Re^n\rightarrow\Re^n\) uma transformação linear definida por \(T(x)=Ax\). Então a imagem de \(T\) é o \(\Re^n\)? Uma matriz quadrada \(A\) de ordem \(n\) é dita nilpotente, se
existe um escalar \(k\) tal que \(A^k=0\).

Como é a imagem de um operador linear definido a partir de uma matriz nilpotente? O conjunto imagem é o \(\Re^n\)?

Answer 1

Note que \(A^k=0\) então \[det(A^k)=det(0)\Rightarrow det(A)^k=0\Rightarrow det(A)=0.\] Dessa forma, \(A\) é singular. O conjunto imagem de \(T\) é dado por \(\{y\in\Re^n| Ax=y, \forall x\in \Re^n\}\). Note que o posto de \(A\) é menor que \(n\) e o posto da matriz aumentada \([A|y]\) pode ser \(n\) implicando que existem \(y\in\Re^n\) tal que o sistema \(Ax=y\) não tem solução. Logo, o conjunto imagem de \(T\) não é \(\Re^n\).