Como é o núcleo de um operador linear definido a partir de uma matriz nilpotente?

Question

Seja \(T:\Re^n\rightarrow \Re^n\) um operador linear tal que \(T(x)=Ax\), onde \(A\) é uma matriz nilpotente. Então o núcleo de \(T\) possui apenas o vetor nulo?
Uma matriz quadrada \(A\) é dita nilpotente, se existe um escalar \(k\) tal que \(A^k=0\).

Answer 1

Note que \(A^k=0\) então \[det(A^k)=det(0)\Rightarrow det(A)^k=0\Rightarrow det(A)=0.\] Dessa forma, \(A\) é singular e o núcleo dado pelo conjunto solução de \(Ax=0\) possui infinitos elementos.

Comments

Professor, uma resposta certa seria:

Dado um vetor u tal que u = A^(k-1)v, tal que v pertence ao R^n, qualquer u é solução de Ax = 0.

Me corrija se eu estiver errado, me dê meio ponto caso eu esteja certo rsrs

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Boa solução.